Théorème de Weierstrass - Math'φsics

Théorème de Weierstrass

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Théorème de Weierstrass, Théorème des bornes atteintes :
\((E,\tau)\) est un Espace topologique
compact

\({\Bbb R}\) est munit de sa Topologie usuelle

\(f:E\to{\Bbb R}\) est continue

$$\Huge\iff$$

\(f\) est bornée sur \(E\) et atteint ses bornes : $$\exists m\in E,f(m)=\min_{x\in E}f(x)\quad\text{ et }\quad\exists M\in E,f(M)=\max_{x\in E}f(x)$$
Démontrer le théorème des bornes atteintes/de Bolzano-Weierstrass :

\(f(X)\) est compact en tant qu'img directe d'un compact, et donc elle est fermée et bornée.